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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Cz%!QM3g  
{Wn{Qy*Z  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. qJW<F,a2p  
Dw? 53 4  
　　1、三角函数本质： G BDIE+  
*NHH;`  
　　三角函数的本质来源于定义 k!\s4'c  
B$`=e8 oQ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 \NT!!nH  
rW%egBmc;  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 z ,&`zu  
Ot v6 `G~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： z'dTNwm+\  
tM<c"y.V2  
　　推导： smg) *o}6  
FmaY (WFx  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 qf/ |c!{X  
i-=D<n P_  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^BC77 Icz  
=od/V3w6I?  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) && 8"u5[3  
u6<c0/1%-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 z2/yPSQ/  
?,VkI=!  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） vs~tExC)i  
/Wl9q%'(\  
　　[1] rtp]2z\B  
<dXhfFtEA*  
　　两角和公式 b r9pa QX  
3 `f N+hc  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB C9at,:,@&  
Jm^Dz:  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  _UC1,j=t  
8w#]%2f  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB o=~{ Mm&Q  
nywi.LiT  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB savz#{  
w'5m.dga  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) zs :*:}  
k bK>\5  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) D-w%Avt~  
rWL[>yDD.v  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  EE}"IbLw&  
Xp"+FoW`B  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) x,iJ&y1yu  
2<6!|=>9hp  
倍角公式 Cq4c* bCt  
UuIG$U^In  
　　Sin2A=2SinA•CosA C*c;8Wy  
].n`1b<  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9#W)U,a$.  
?T99*s }  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） d/`ZP.{!J  
x_L,UQq  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Of\|qC2eQ  
; #W3'g  
三倍角公式 v9A6`  
6TiL^wW  
　　 #| z~_r  
{8Lw0x7  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) s9@NI5UJU1  
c9Q:.Ns\ml  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) i{Ty)!>g  
6Ery8z  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) a2>C 1Af  
w2eV4 TeN  
三倍角公式推导 OCt apH@f  
G$HYk\  
　　sin3a 97DrA%EW  
INF%V9yHj  
　　=sin(2a+a) Mhr4hu..  
PdI2 +  
　　=sin2acosa+cos2asina zqa 5j{,P  
iILb|!>|  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina A. CyDy-  
?:t3PTd!  
　　=3sina-4sin³a }rS( - =  
#zi,CFZ+  
　　cos3a "HujW=hpL  
X>vQ4K7>  
　　=cos(2a+a) Hgwj !J3  
]Qthec  
　　=cos2acosa-sin2asina h~]^4Te-BK  
aI_R8#C  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 'E2~+ /Do  
^ap 7pLYg  
　　=4cos³a-3cosa V~f+m2=o  
W*+fa#<87H  
　　sin3a=3sina-4sin³a r*d.+ED!G  
z]C 4H  
　　=4sina(3/4-sin²a) oU4OF%aw*  
I4s$NvOU  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 6{M8WA?.m`  
$Iv]Z;!9e  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) a]ovLZB7Z  
FV?`@-P  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (ir*a2Ls  
S/!{|g?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] {#DQ=Ob!  
!cG_x"  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) mpNxD  
4{Cgv0=Va  
　　cos3a=4cos³a-3cosa &dqTvWD)!  
8'?i2iC  
　　=4cosa(cos²a-3/4) HmX z#xd{  
)f8xxR]!  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] K)/oKXe`}  
G6V7 a^P  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) gV`$=U3]  
YdiKRT  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) c ^SN/3  
> l; |  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} j]F!Ry  
?e:?hL3L  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) D>)(xT$mA  
mV3wa t)  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  ";!l/Ly  
MI3>%HPA  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xUno?~p  
ehe}!2 N  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) V\fsO3qS  
LcID2Tq  
　　上述两式相比可得 -2=`SYH  
kK^L4'C  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  m]):mS'  
-E1DWz0%  
半角公式 ~qMl aH  
|sX c?B  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); r(Of(  
Qv5F T Y+  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. y]%su  
*W[lZ4avi  
和差化积 t u9]lTO  
n<MTs fk]!  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] L@z9r 7y'  
Cm=uw2U  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] rc)9 i-r]  
|.+wWn*  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ZZ1MVd[pI  
i 1.X% :,  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =/Y\}[n$W  
,;nL &k  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) wmQh?>N  
Rx3213  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) xWGSh0w[`  
Z]d@A``D  
积化和差 %_}&"L+$>y  
a]_i)KGs  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] M*g[cZ% Q  
&K8{}je=.^  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] (y[ vWc'7  
:5x(:d  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] PF-il_ (  
{?1<(  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] yWLdL  
nIMmL`[-m  
诱导公式 Q;Zg. 6_  
5o.6Xl0/M  
　　sin(-α) = -sinα hS [ V@/  
I8ZbK 8T  
　　cos(-α) = cosα ]X gkT F  
w!;Pyn:~  
　　sin(π/2-α) = cosα t!IY  
>jVnUqF/c  
　　cos(π/2-α) = sinα 8S~br]=N  
IBS/3(8  
　　sin(π/2+α) = cosα e5Kta2  
~FT8,Tz  
　　cos(π/2+α) = -sinα dYu<R?2  
+R[pYJtBm  
　　sin(π-α) = sinα k#<SA=5Nv]  
zRdd>$f^  
　　cos(π-α) = -cosα I'VA?o[~  
%sW%,?<Dn  
　　sin(π+α) = -sinα dzs >y  
7`3" AaT  
　　cos(π+α) = -cosα Z $)s 7o!  
E[%fv<rTz  
　　tanA= sinA/cosA 5qg$7t)  
U:G{(b-4C  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα YURI(ajb|P  
$r`4#F^RLH  
　　tan（π/2－α）＝cotα $%*!OMv  
N 2t8Mz#  
　　tan（π－α）＝－tanα _$<Gs.  
lR_}s 5dQ  
　　tan（π＋α）＝tanα rldL_zR{4  
i[D .) vd  
万能公式 c>jVpoGw  
P67@ qL  
　　 yl/;s  
B%V:77sn  
其它公式 <kNlE k L  
(1r2l B  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 RHy]'5  
[wp-Nm  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 aF&$DOl<h  
]\sq\qf =  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 `l4 cMd<  
$_Uw p3QH  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 lh"P)~"_x  
hf!<r%P  
　　对于任意非直角三角形,总有 LF ynG4  
DE@SG&ijf2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC s N"$\V  
Q^<j99D  
　　证: 8k$w"   
*yCG:IJZ  
　　A+B=π-C 2`!&> "J  
^|DB (q/o  
　　tan(A+B)=tan(π-C) S[iUI  
b8' NayCf  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) % h]erQ  
O'<++]v(  
　　整理可得 5cYw&y  
=;YlM~y|8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q }+m?   
SlRu-mTo  
　　得证 ~uM$A2;<W.  
^7S{wb>Jp  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 OwQy~d  
_QhEw2  
其他非重点三角函数 <3(769wr%  
{@pM|fZS7  
　　csc(a) = 1/sin(a) fe h> n$  
Z!@'t T$M  
　　sec(a) = 1/cos(a) :m r;q  
z|Fh\S@i  
　　 f :|f@  
t :qLfhN~  
双曲函数 {ijQ s%  
Rw.@U_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 V(@3]  
&tZ>qk  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 }!35\ ^{k/  
`0w>tPYP}3  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z&0\`0Rx|  
v)\ =)e  
　　公式一： Uc|s /(R&e  
'[ uRT  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )eabV  
z< jfzN6x  
　　sin（2kπ＋α）= sinα {CRQZ}1}3  
{]% nT_  
　　cos（2kπ＋α）= cosα \Hm wCea  
3zl~Z4,bq  
　　tan（kπ＋α）= tanα Q@O/  
p56@k)Fq-  
　　cot（kπ＋α）= cotα /5>{9L +N  
B5NtU)I*  
　　公式二： '?VtPa}G`  
4cOO8~rh  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ASH]yK(  
$&"-T'V_=Y  
　　sin（π＋α）= -sinα !+*c1>p'{.  
xy\v%geQn  
　　cos（π＋α）= -cosα wXP=|\Uk  
45I O;ms*  
　　tan（π＋α）= tanα \W' b^f4  
zIA&b,n$  
　　cot（π＋α）= cotα a% F'G  
+ONa ObK  
　　公式三： Q8%Xs0o  
&v_*d>S{  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： -paSF]>x  
8t?{ftJ"]  
　　sin（-α）= -sinα Q_PKZNk  
g&Cqk))  
　　cos（-α）= cosα *Sb4c"mO@  
.kL K1# ]m  
　　tan（-α）= -tanα ) j0=}x  
))*2f6K  
　　cot（-α）= -cotα ]@Z!PqR  
<jhFhZ  
　　公式四： ed*Je&/p:  
uI 2jyUIo  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： }kSw S z  
Vt:RoXUd  
　　sin（π-α）= sinα FGGYm}9Q  
n8%E8BlK  
　　cos（π-α）= -cosα SPv :_  
2;d-?erl&  
　　tan（π-α）= -tanα ;# zz>w9  
pTyE_ {i  
　　cot（π-α）= -cotα XC$mYJrt  
)G.0"`Y"  
　　公式五： /& =E[\x  
EY=7O>#D.  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Vb@}(c  
}BXlNw""  
　　sin（2π-α）= -sinα |$Fk=5Bv  
HT$7 U  
　　cos（2π-α）= cosα OJ[0"Z`z  
 ~$,=28#  
　　tan（2π-α）= -tanα qXc(5(;_I  
I#U-7>R  
　　cot（2π-α）= -cotα 0lA}4'T3  
$gZaucq  
　　公式六： -u2B^~-D  
LS?b2V7q  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !Apnwm  
 G&k8<X  
　　sin（π/2+α）= cosα 9$;X[S9`S  
^QV b  
　　cos（π/2+α）= -sinα '|1_x>G  
$P52_/'  
　　tan（π/2+α）= -cotα wh>lYnQ  
K5T1)>  
　　cot（π/2+α）= -tanα A$2|z8  
ugPMsWx  
　　sin（π/2-α）= cosα [Hh#QnU0v  
EOj(<I  
　　cos（π/2-α）= sinα B"REb1  
4Y0q9>0  
　　tan（π/2-α）= cotα qxpD0<  
6"sAmW'F  
　　cot（π/2-α）= tanα }5K@|^w  
0(YN/T=  
　　sin（3π/2+α）= -cosα c:em>= {  
m +j1YxW  
　　cos（3π/2+α）= sinα z;g(d K  
reQoE$u  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Usz4 B  
<+FJ<W  
　　cot（3π/2+α）= -tanα C*}(m]Pac  
B2i(` :.%  
　　sin（3π/2-α）= -cosα n`-3ADj  
75ZZw#r1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 7hK/E;  
\I|6#}  
　　tan（3π/2-α）= cotα %6QBx1Z*Q5  
s]Q5!\%  
　　cot（3π/2-α）= tanα >Xt8 i0Y  
Ru#0Q U Q  
　　(以上k∈Z) i,($Q%  
&E"`+O{B5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 *DOH 9  
== ~W)V"4  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = cgBVFBw  
 fL\s2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } H|T;,fBvf  
_G tY+u  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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