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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 k )_f' ff{  
vI<qmpn2  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8ipJO0d  
6#Sc2Y  
  1、三角函数本质: }^acTH1I  
d6wZmY` s[  
  三角函数的本质来源于定义 @lj}_5f  
I?&g, 8C/  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Y;;x qQM  
)6I0o>Jc  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 `jOjrqdi  
L{g58fz3  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: x2HgI  +  
2s5|jTB  
  推导: QV_QTK<U6  
X {Hz  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 a0">=Z  
+yaar7L  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^ ,-4^ptV  
,49>! J  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;[\B\Msr  
] wEyl4r +  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 zAK0^$R}  
fIbA wJ  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ^q11.e{  
??> `Gi )X  
  [1] s2{3z5$98)  
^G;S{e%j  
  两角和公式 >i'qo M*  
<KJWD^  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB J>"ofmPt  
g=!XG` U  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Z`'8"'2  
:H5Di4va-p  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB & Pk/qi%9  
ul.Za iK8x  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB s$A X~?vD=  
Do\kZ|m|z  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) X<:"' c  
D;rb]%>1X  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) O)csk ~t  
EXNa@cFf  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  *`;J.D yNk  
$@J r  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) _8qY)H  
;0^YGzVx  
倍角公式 &CS Q0  
.MYl3Au  
  Sin2A=2SinA•CosA LDNDXkFW  
&s" EQK||  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Jyt$Yb4Y[  
FBT7W|.uS  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) |n3bJaR  
lI j2)bg  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) #[+5WU]0  
+FmY4~G9  
三倍角公式 @K<r9+#O  
IFUBB!Dr  
   *Ss}RFA%  
1ri_0d1  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) y<HzN2Ad>  
O@L/-6  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) E@?<j2'  
KO>C#7m"r  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) &UTQ\PY[8  
gP,@Vk+|  
三倍角公式推导 -+YF@$:3  
TWAL8V  
  sin3a T>KC7![b  
u(5*[y3  
  =sin(2a+a) ,i}K~  
C%.capvn\  
  =sin2acosa+cos2asina I>p6"#Nj  
VYLsoD^=L  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina $3ZDUI3  
hZUZ4d:  
  =3sina-4sin³a }kHHU+(lfU  
%|9Gk  
  cos3a gR<yqran  
d =T!E[<  
  =cos(2a+a) oN%v;C*A  
JXgPz-6  
  =cos2acosa-sin2asina 6T[-`$gQV  
;7g{FK  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p/p8b3Ks  
YQr*z*^'  
  =4cos³a-3cosa 3@w{5\X  
NtC4QKU  
  sin3a=3sina-4sin³a WQ\Xrf}  
8~rTOYV  
  =4sina(3/4-sin²a) ^1i_|84'  
n)GQ60rX  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] "Ll [Zp!8  
0c};g"r  
  =4sina(sin²60°-sin²a) lBOap )  
{ P+hE;  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) [WuIq5Uh^  
>+\X\l]  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?Or&<n>MS  
T G(-+0k  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) o{)cJ  
>g,KN2  
  cos3a=4cos³a-3cosa +u{!?4  
, 3k'6  
  =4cosa(cos²a-3/4) xrJ,_uO,  
a2f_%6(3a  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] Xs; MYy n  
&@GqO}2g4  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) =o'l{?z  
v9)jy^g  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)  hq/**  
Rooc4  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} '*op@90b  
P^VW:5y  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) O},) ch!R  
='o l'=R  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] f?lOIFN  
sw! c*E{S  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Xtg8h;7  
J-Rh |Po  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ?ieb[ WDe  
Ck.}1|  
  上述两式相比可得 A7dHYQE (  
iAOU:-#?@  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Ft)7&H  
<2hoP)L  
半角公式 \E(LnQSH6N  
f6vd[vd  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); BaZv8-MA  
BJ4$-:T  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. T?Dw7YGI  
$v}_\Ib$  
和差化积 2yF1AD)C)  
0w\,/'kso  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 2 ?"8 #  
}]]&1N;  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OT L,+KF}K  
c@G%j*X"]  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] UDM_h9P8/(  
`T+wpnth8p  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +aKRve3}Y  
I"2 &)5aDr  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $Le.y aPg  
[?q4VmZ  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) U*/$Coo@  
lH| >/~L  
积化和差 e{s;xWWR  
P^\(dX%d`  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] (s`Ts`  
^Am;#!W&  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]  [<|sKt7  
7};j/?n  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] X6pQ>Zz  
pmi>fN2X  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] v.!_5bJG=  
.Ap]J1{^S  
诱导公式 f\(j$  
tA$]lt[9  
  sin(-α) = -sinα H+wTc/(wA  
 #BH  
  cos(-α) = cosα oqe +!tv  
I<j^:/(e B  
  sin(π/2-α) = cosα fBJ]?  
&dpK@MS}  
  cos(π/2-α) = sinα $HN<YA|  
Uh N !sN5Q  
  sin(π/2+α) = cosα vV07KH/  
_];s1W!N  
  cos(π/2+α) = -sinα S0-!XfGo>/  
: :-yg,  
  sin(π-α) = sinα ;}d;q~r(  
TY6m~*x`  
  cos(π-α) = -cosα @J5Z`Il  
8ol8(q.+"  
  sin(π+α) = -sinα p?]{iuQ`o  
t+N6)j  
  cos(π+α) = -cosα Au(Fl1y  
Pl~7cj  
  tanA= sinA/cosA F?;Orj\5  
#.$l* <%d  
  tan(π/2+α)=-cotα Ewjp <  
5$.uGOb*  
  tan(π/2-α)=cotα f'u'o  
#B<AlDm `  
  tan(π-α)=-tanα I ^LU<c  
&_N/tk  
  tan(π+α)=tanα Q~Sanx<yx  
qn+k{='[  
万能公式 U$8~;]"D41  
tzcl%0Z9  
   9MJ5CWv*T  
f1X1!3B)&  
其它公式 #.?kWkKqJY  
+?.=vlD  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 @}NpV=Bi  
B$kTu46E  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 zZ< {EU  
1$ciJJ  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 aU-j |/J  
>+:eW3^@  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 TQ2$L.o  
o;.i`l_L  
  对于任意非直角三角形,总有 <`A_H|<   
n~".W&R4W  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC yNFdooXei  
3H%R`hY4  
  证: qsYcG@  
l6WQVR[Q  
  A+B=π-C :sPZ-v[~  
tAf\qFgF  
  tan(A+B)=tan(π-C) Ujc;Cl7c  
2)Tu>uyz  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) VOvv}($  
~ Q|PB  
  整理可得 %$n mje  
 gyP,hJp  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC iJ\4 OETF  
D}5M7ltO  
  得证 jW/?p  
2(9T6rc  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 GShY$4XGd  
r>bmxzp7rt  
其他非重点三角函数 @-T)A#\3.  
%U"6~r  
  csc(a) = 1/sin(a) [n so '/V  
(oqw<8O  
  sec(a) = 1/cos(a) @L^p5d<L  
'@p,86{h  
   aze>p1l k  
g-^}\JX6X@  
双曲函数 z5ifxT.  
7>`V(<%  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 weQM?a%.  
:N,UiX  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 C0F!d#ao]  
g!!](kiw  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) !~gc=`  
tF !8'$7  
  公式一: zV<#d  
?(o=<={)O  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: -!kw1L=x  
G4HCu5gk  
  sin(2kπ+α)= sinα eE`l98  
x=%> 4  
  cos(2kπ+α)= cosα >}mvP}\  
uYF \z?!n  
  tan(kπ+α)= tanα lAu}SeB$  
.%GOA g  
  cot(kπ+α)= cotα @'"\_/NOE  
'Rzb+=n  
  公式二: ?(R>]q;*  
!!z>e]  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: O_T5V/*  
l6 EGlC  
  sin(π+α)= -sinα (7DTB8cx  
PK_07:  
  cos(π+α)= -cosα 8DdNQc  
XB+r*:  
  tan(π+α)= tanα 8h[0 3=]M  
ysM/Jc_7  
  cot(π+α)= cotα %$mo-;nY  
=g$w__V"?  
  公式三: =REts7tn?  
NL)WS"p  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 6y 3B3o  
F.V_\>g  
  sin(-α)= -sinα My]!I6<g  
,D*iH8ib  
  cos(-α)= cosα (= DqD'hd  
t4M>,s/v  
  tan(-α)= -tanα OvZ['P+F  
v@Z7m:F#@  
  cot(-α)= -cotα [-2oA }  
bpofTA<  
  公式四:  >`<b7x  
9t: 92%x  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: v?25q J8_  
PP%%yT9X  
  sin(π-α)= sinα zFT:D S  
N$ GOdb  
  cos(π-α)= -cosα W?koa&$-  
.~`G@o _  
  tan(π-α)= -tanα J8kld@oP}  
kimPoK  
  cot(π-α)= -cotα LQn6$  
|A^2%N@5  
  公式五: Rq!m`PTs9  
$ 7I_Qta  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: %Xr5x\J  
x  X`z  
  sin(2π-α)= -sinα q[jQKEqU  
L62V$LK  
  cos(2π-α)= cosα Guw =_  
BY:;-Ajb  
  tan(2π-α)= -tanα 'fK@ yJe  
bZc"8Lga5  
  cot(2π-α)= -cotα LVr5#l-K  
cPV'^y$  
  公式六: 8M P JP4  
,E_[hVCK  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: `:jPc&  
wk{eAp;4  
  sin(π/2+α)= cosα -^wUKz@  
|$"MP+&  
  cos(π/2+α)= -sinα O%{:+m}i  
a{so3p  
  tan(π/2+α)= -cotα `CF`Fw  
$^9bUIL  
  cot(π/2+α)= -tanα 08eN6;-  
uO[(g,?|e  
  sin(π/2-α)= cosα ]%Y{ M  
m]IZp  
  cos(π/2-α)= sinα h\FA FU1  
9Kbu= Y  
  tan(π/2-α)= cotα Ge? '2  
%DgFu[DWb  
  cot(π/2-α)= tanα nQ0_We*  
B]B&ETVcW  
  sin(3π/2+α)= -cosα -L0[9)  
R-mQ'%Q[  
  cos(3π/2+α)= sinα C_L Q .  
Gf"D+i7  
  tan(3π/2+α)= -cotα #2/au R 1  
# !G`k =8  
  cot(3π/2+α)= -tanα :f9.V=ZN  
5J)`MBAk  
  sin(3π/2-α)= -cosα PdOh 5`1  
zs=S\o)  
  cos(3π/2-α)= -sinα DBy <Sj  
:ZF[V-k  
  tan(3π/2-α)= cotα jS$O`b  
vE))ZTG  
  cot(3π/2-α)= tanα . Fn<=)Y  
, $x80! G  
  (以上k∈Z) C}gWN *e  
=caxKx;C  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 pzC?g@  
sC*$o;|e+q  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = KN;f<uKX  
.w A}[TQ  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Dn%l%p  
;s}Wo=gU  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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