三角函数内容规律 k
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三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8ipJO0d
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1、三角函数本质: }^acTH1I
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三角函数的本质来源于定义 @lj}_5f
I?&g,8C/
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Y;;x
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)6I0o>Jc
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 `jOjrqdi
L{g58fz3
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: x2HgI
+
2s5|jTB
推导: QV _QTK<U6
X
{Hz
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 a0">=Z
+yaar7L
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^ ,-4^ptV
,49>! J
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;[\B\Msr
] wEyl4r+
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 zAK0^$R}
fIbA wJ
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ^ q11.e{
??> `Gi)X
[1] s2{3z5$98)
^G;S{e%j
两角和公式 >i'qo M*
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sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB J>"ofmPt
g=!XG`
U
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB Z`'8"'2
:H5Di4va-p
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB &
Pk/qi%9
ul.ZaiK8x
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB s$AX~?vD=
Do\kZ|m|z
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) X<:"'c
D;rb]%>1X
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) O)csk~t
EXNa@cFf
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) *`;J.D
yNk
$@J
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cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) _8qY)H
;0^YGzVx
倍角公式 &CS Q0
.MYl3Au
Sin2A=2SinA•CosA LDNDXkFW
&s"
EQK||
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Jyt$Yb4Y[
FBT7W|.uS
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) |n3bJaR
lIj2)bg
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) #[+5WU]0
+FmY4~G9
三倍角公式 @K<r9+#O
IFUBB!Dr
*Ss}RFA%
1ri_0d1
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) y<HzN2Ad>
O@L/-6
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) E@?<j2'
KO>C#7m"r
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) &UTQ\PY[8
gP,@Vk+|
三倍角公式推导 -+YF@$:3
TWAL8V
sin3a T>KC7![b
u(5*[y3
=sin(2a+a)
,i}K~
C%.capvn\
=sin2acosa+cos2asina I>p6"#Nj
VYLsoD^=L
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina $3ZDUI3
hZU Z4d:
=3sina-4sin³a }kHHU+(lfU
%|9Gk
cos3a gR<yqran
d
=T!E[<
=cos(2a+a) oN%v;C*A
JXgPz-6
=cos2acosa-sin2asina 6T[-`$gQV
;7g{FK
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p/p8b3Ks
YQr*z*^ '
=4cos³a-3cosa 3@w{5\X
NtC4QKU
sin3a=3sina-4sin³a WQ\Xrf}
8~rTOYV
=4sina(3/4-sin²a) ^1i_|84'
n)GQ60rX
=4sina[(√3/2)²-sin²a] "Ll
[Zp!8
0c};g"r
=4sina(sin²60°-sin²a) lBOap)
{P+hE;
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) [WuIq5Uh^
>+\X\l]
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?Or&<n>MS
TG(-+0k
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) o{)cJ
>g,KN2
cos3a=4cos³a-3cosa +u{!?4
,3k'6
=4cosa(cos²a-3/4) xrJ,_uO,
a2f_%6(3a
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Xs; MYy
n
&@GqO}2g4
=4cosa(cos²a-cos²30°) =o'l{?z
v9)jy^g
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
h q/**
Rooc4
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} '*op@90b
P^VW:5y
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) O},)ch!R
='ol'=R
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
f?lOIFN
sw! c*E{S
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Xtg8h;7
J-Rh |Po
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ?ieb[
WDe
Ck.}1|
上述两式相比可得 A7dHYQE (
iAOU:-#?@
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Ft)7&H
<2hoP)L
半角公式 \E(LnQSH6N
f6vd[vd
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); BaZv8-MA
BJ4$-:T
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. T?Dw7YGI
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和差化积 2yF1AD)C)
0w\,/'kso
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 2?"8#
}]] & |